CASOS DE FACTORIZACION

FACTORIZACIÓN

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados;

CASOS DE FACTORIZACION

CASO I

FACTOR COMUN MONOMIO

5 +15 .

1.        Descomponemos en factores de 5 +15 .

5 y 15  contienen el factor común que es “m”. Escribimos el factor común “m” como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir 5  5 = m y 15  5 = 3m, y tenemos

5 +15 =  5 (1+3m)

 

 

FACTOR COMUN POLINOMIO

X(a+b) + m(a+b)

1.        Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio de (a+b). escribo (a+b) como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis escribo los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a+b), o sea:

Y  y tendremos:

RESPUESTA:      x(a+b)+ m(a+b)= (a+b) (x+m). 

 

CASO II

 FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

Ejemplo:

Un ejemplo numérico puede ser:

     2y + 2j + 3xy + 3xj

Entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

  = 

Aplicamos el primer caso (Factor común)

= 2   + 3x      

 

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un Trinomio Cuadrado Perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

Todo trinomio de la forma:
 es un trinomio cuadrado perfecto ya que:
Siendo la regla: Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

1.      El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable.

2.     Dos de los términos son cuadrados perfectos.

3.     El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás.

4.    El primer y tercer término deben de tener el mismo signo.

Ejemplo

    Tenemos planteado un ejercicio de la forma    TCP.

Sacamos las raíces cuadradas del primer y del último término y del segundo el signo.

2(  

El termino del medio el 6x tiene que salir como el resultado de multiplicar dos veces la raíz del primero por la raíz del tercero.

 = ( +3)²  

El resultado del trinomio va a hacer igual a un binomio al cuadrado en la cual abrimos paréntesis y ponemos las raíces del primer y del último término con el signo del término de la mitad ósea el signo del 6x.

 

 CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADO PERFECTO

Factorar o descomponer en dos factores:

  1

Factorizar:   –

La raíz cuadrada de  es (p + q).

La raíz cuadrada de es  (q + 2).

Se multiplica la suma de estas raíces (p + q) + (q + 2) por la diferencia (p + q)– (q + 2)

Y tengo:   –  [(p + q) + (q + 2)] [(p + q) – (q + 2)]

= (p + q + q + 2) (p + q – q – 2) se reduce a términos semejantes y queda.
= (p + 2q + 2) (p – 2).

 

CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta), pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.

EJEMPLO:

Factorizar x⁴ + 3x² + 4

SOLUCIÓN

X4 + 3x² + 4

Raíz cuadrada de x⁴ es x²

Raíz cuadrada de 4 es 2

Doble producto de la primera raíz por la segunda: 2(x²) (2)  

                                                                                            = 4x²

El trinomio x⁴ + 3x² + 4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces:

x⁴ + 3x² + 4

= x⁴ + 3x² + 4

        +  x²         - x²  Se suma y se resta x²

^{----------------------------------------}

=(x⁴ + 4x² + 4) - x²   Se asocia convenientemente

=(x² + 2)² - x²             Se factoriza el trinomio cuadrado  perfecto.     

=[(x² + 2) - x] [(x² + 2) - x]  Se factoriza la diferencia de   cuadrados

                                                     

=(x² + 2 + x) (x² + 2 - x) Se eliminan signos de agrupación 

                                                                                                            

=(x² + x+ 2) (x² - x + 2) Se ordenan los términos de cada factor.

                                         

  Entonces: x⁴ + 3x² + 4 = (x² - x+ 2) (x² - x + 2)

CASO VI 
Trinomio de la forma

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:

Lo primero que hacemos es revisar si el ejercicio es un trinomio de la forma , luego procedemos a poner 2 paréntesis en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable luego se multiplica el primer signo por el segundo en este ejercicio +por + da + por eso en el primer paréntesis va el signo +, luego en el segundo paréntesis se multiplica el primer signo por el signo del último término ósea + por – da – por eso va en el segundo paréntesis el signo menos luego buscamos 2 números que multiplicados den el resultado del último valor y sumados o restados den el resultado del segundo término los números son +5 y -3 por que multiplicados dan  15 y restados dan 2 positivos por la ley de los signos.

CASO VII

TRINOMIO DE la forma a

1.        Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a ” por cada termino del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el término “bx” de la manera “b(ax)”, y en el término “a ” de la manera  .

2.      Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del término   la que sería “ax”.

3.       al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio.

4.      El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

5.      Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior.

Ejemplo 

 

CASO VIII

 Cubo Perfecto de Binomios

De los productos notables tenemos:

En este caso la factorización es realizar la operación inversa a esta:

Para reconocerlo se deben tomar en cuenta los siguientes puntos.

• Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra.

• Dos de sus términos, el 1º (a ) y el 4º (b ), deben poseer raíz cúbica exacta.

• El segundo termino debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto termino [3(a) (b)].

• El tercer término debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b) ].

• El segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o negativo, el primer y tercer término siempre son positivos (si el primer y tercer término son negativos realizar factor común con el factor -1).

• Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos cantidades (a + b) , si hay términos negativos el resultado es el cubo de la diferencia de dos cantidades (a – b) . 

CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

SUMA DE CUBOS PERFECTOS

REGLA:

 La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 

1. La suma de sus raíces cúbicas.

2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos

    Raíces, más el cuadrado de la segunda raíz

 a³ + b³

 Raíz cúbica del primer término  a³ es a 

Raíz cúbica del primer término  b³ es b 

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS. REGLA: La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos     raíces, más el cuadrado de la segunda raíz a3 - b3 Raíz cúbica del primer término  a3 es a  Raíz cúbica del primer término  b3 es b  a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

FACTORIZAR:

1). 125 - w¹⁸z³⁶

Raíz cúbica del primer término  125 es 5  

Raíz cúbica del primer término  w¹⁸z³⁶ es w⁶z¹²

125 - w¹⁸z³⁶ = (5 - w⁶z¹²) [(5)² + (5)(w⁶z¹²) + (w⁶z¹²)²] 

125 - w¹⁸z³⁶ = (5 - w⁶z¹²) (25 + 5w⁶z¹² + w¹²z²⁴) r//

 

CASO X

SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES

1. Clasificar la expresión en positiva o negativa, y en par o impar (si son positivas y pares no se pueden realizar por este método).

2. Se sacan las raíces de cada término.

3. Se coloca el primer factor el cual es un binomio cuyo primer término es la raíz del primer término dado y el segundo termino es la raíz del segundo término dado.

4. El signo del primer factor (binomio) será el mismo que tiene la expresión dada.

5. Se crea el segundo factor (un factor polinomio) en el cual existirá un número de términos igual al exponente de la expresión dada (los siguientes pasos son solo para el segundo factor).

6. En cada término se multiplicara el término de la izquierda por el término de la derecha de la expresión dada

7. En el primer término del factor polinomio el factor de la izquierda tendrá un exponente igual a “n – 1”, y el factor derecho tendrá un exponente de cero.

8. Para los exponentes de los siguientes términos, en el caso del factor de la izquierda irán disminuyendo en una unidad, y los del término de la derecha irán aumentando también en una unidad (si se suman los exponentes de los dos términos siempre será igual a n-1).

9. Si el binomio es negativo todos los términos del polinomio son positivos, si el binomio es positivo impar los signos del polinomio se alternarán (+ ó –) comenzando por el “+”.

10. Cuando en el polinomio, el exponente del término de la derecha sea igual a n-1 damos por terminada la respuesta.

Ejemplos

Si la diferencia es:

Clasificación   -      expresión negativa par

Raíces                        raíz 8   =     = n

Binomio                   

Polinomio

Signos                      

Respuesta

Si la diferencia es:

Clasificación   +     expresión positiva impar

Raíces                        raíz 9   =     = n

Binomio                    ­­­

Signos

Respuesta