En
matemáticas, la factorización
es una técnica que consiste la descomposición de una expresión matemática (que
puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de
producto. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los
objetos matemáticos estudiados;
FACTOR COMUN MONOMIO
5
+15
.
1.
Descomponemos en
factores de 5
+15
.
5
y 15
contienen el factor común que es “m”.
Escribimos el factor común “m” como coeficiente de un paréntesis; dentro del
paréntesis escribimos los cocientes de dividir 5
5
= m y 15
5
= 3m, y
tenemos
FACTOR
COMUN POLINOMIO
X(a+b) + m(a+b)
1.
Los dos términos
de esta expresión tienen de factor común el binomio de (a+b). escribo (a+b) como
coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis escribo los cocientes de
dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a+b), o sea:
Y
y tendremos:
RESPUESTA:
x(a+b)+ m(a+b)= (a+b) (x+m).
CASO II
Para
trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que
son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número
par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y
se le aplica el primer caso, es decir:
Ejemplo:
Un
ejemplo numérico puede ser:
2y + 2j + 3xy + 3xj
Entonces
puedes agruparlos de la siguiente manera:
=
Aplicamos
el primer caso (Factor común)
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Un Trinomio Cuadrado Perfecto, por
brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al
cuadrado un binomio.
Todo trinomio de la forma:
es un trinomio cuadrado perfecto ya que:
Siendo la regla: Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado
del primer término, más el doble del primer por el segundo término, más el
cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será
cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones:
1.
El polinomio pueda ser ordenado en
potencias descendentes de una variable.
2.
Dos de los términos son cuadrados
perfectos.
3.
El otro término es el doble producto de
las raíces cuadradas de los demás.
4.
El primer y tercer término deben de
tener el mismo signo.
Ejemplo
Tenemos planteado un ejercicio de la forma
TCP.
Sacamos las
raíces cuadradas del primer y del último término y del segundo el signo.
2(
El termino del
medio el 6x tiene que salir como el resultado de multiplicar dos veces la raíz
del primero por la raíz del tercero.
= (
+3)2
El resultado
del trinomio va a hacer igual a un binomio al cuadrado en la cual abrimos
paréntesis y ponemos las raíces del primer y del último término con el signo
del término de la mitad ósea el signo del 6x.
CASO
IV
DIFERENCIA
DE CUADRADO PERFECTO
Factorar o descomponer en dos factores:
Factorizar:
–
La raíz cuadrada de
es (p
+ q).
La raíz cuadrada de es
(q +
2).
Se multiplica la suma de estas raíces (p + q) + (q + 2) por la diferencia (p +
q)– (q + 2)
Y tengo:
–
[(p +
q) + (q + 2)] [(p + q) – (q + 2)]
= (p + q + q + 2) (p + q – q – 2) se reduce a términos semejantes y queda.
= (p + 2q + 2) (p – 2).
CASO V
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y
tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz
cuadrada exacta), pero su segundo términos no es el doble
producto de sus raíces cuadradas.
|
EJEMPLO:
Factorizar x4 + 3x2 +
4
SOLUCIÓN
X4 + 3x2 + 4
Raíz cuadrada de x4 es x2
Raíz cuadrada de 4 es 2
Doble producto de la primera raíz por la segunda: 2(x2)
(2)
= 4x2
El trinomio x4 + 3x2 +
4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces:
x4 + 3x2 + 4
= x4 + 3x2 + 4
+ x2 -
x2 Se suma y se resta x2
----------------------------------------
=(x4 + 4x2 + 4) - x2 Se asocia
convenientemente
=(x2 + 2)2 - x2
Se factoriza el trinomio cuadrado
perfecto.
=[(x2 + 2) - x] [(x2 +
2) - x] Se factoriza la
diferencia de cuadrados
=(x2 + 2 + x) (x2 +
2 - x) Se eliminan signos de agrupación
=(x2 + x+ 2) (x2 - x +
2) Se ordenan los términos de cada factor.
Entonces: x4 + 3x2 +
4 = (x2 - x+ 2) (x2 - x + 2)
CASO VI
Trinomio de la forma 
Se
identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y
uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos
paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando
dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y
sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del
medio.
Ejemplo:
Lo primero que hacemos es revisar si el ejercicio
es un trinomio de la forma
, luego
procedemos a poner 2 paréntesis en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la
variable luego se multiplica el primer signo por el segundo en este ejercicio
+por + da + por eso en el primer paréntesis va el signo +, luego en el segundo
paréntesis se multiplica el primer signo por el signo del último término ósea +
por – da – por eso va en el segundo paréntesis el signo menos luego buscamos 2
números que multiplicados den el resultado del último valor y sumados o
restados den el resultado del segundo término los números son +5 y -3 por que
multiplicados dan 15 y restados dan 2
positivos por la ley de los signos.
TRINOMIO
DE la forma a 
1.
Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a
” por cada
termino del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el término “bx”
de la manera “b(ax)”, y en el término “a
” de la
manera
.
2. Se descompone el trinomio
en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del término
la que sería
“ax”.
3. al producto resultante lo
dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del
polinomio.
4. El signo del primer binomio
será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio
será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
5. Se buscaran los segundos
términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del
caso del trinomio anterior.
CASO VIII
En este caso la factorización es
realizar la operación inversa a esta:
Para reconocerlo se deben tomar en
cuenta los
siguientes puntos.
- Debe
tener cuatro términos, y estar
ordenado con respecto a una letra.
- Dos
de sus términos, el 1º (a
)
y el 4º (b
),
deben poseer raíz cúbica exacta.
- El segundo termino debe ser igual al
triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la
raíz cúbica del cuarto termino [3(a)
(b)].
- El
tercer término debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del
primer término por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b)
].
- El
segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o negativo, el
primer y tercer término siempre son positivos (si el primer y tercer término
son negativos realizar factor común con el factor -1).
- Si todos los términos son positivos
el resultado es el cubo de la suma de dos cantidades (a + b)
,
si hay términos negativos el
resultado es el cubo de la
diferencia de dos cantidades (a – b)
.
SUMA O
DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
SUMA
DE CUBOS PERFECTOS
REGLA:
La suma de dos cubos perfectos se
descompone en dos factores:
1. La suma de sus raíces cúbicas.
2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos
Raíces, más el cuadrado de la
segunda raíz
a3 + b3
Raíz cúbica del primer término a3 es a
Raíz cúbica del primer término b3 es b
a3 + b3
= (a + b) (a2 - ab + b2)
DIFERENCIA DE CUBOS
PERFECTOS.
REGLA:
La diferencia
de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1. La diferencia de sus raíces cúbicas.
2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos
raíces, más el cuadrado de
la segunda raíz
a3
- b3
Raíz cúbica del primer término a3 es a
Raíz cúbica del primer término b3 es b
a3
- b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
|
FACTORIZAR:
1).
125 - w18z36
Raíz
cúbica del primer término 125 es
5
Raíz
cúbica del primer término w18z36
es w6z12
125 - w18z36 = (5
- w6z12) [(5)2 + (5)(w6z12)
+ (w6z12)2]
125 - w18z36 = (5
- w6z12) (25 + 5w6z12 + w12z24) r//
CASO X
SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS
IGUALES
- Clasificar la expresión en positiva o
negativa, y en par o impar (si son positivas y pares no se pueden realizar
por este método).
- Se sacan las raíces de cada término.
- Se coloca el primer factor el cual es un
binomio cuyo primer término es la raíz del primer término dado y el
segundo termino es la raíz del segundo término dado.
- El signo del primer factor (binomio) será el
mismo que tiene la expresión dada.
- Se crea el segundo factor (un factor
polinomio) en el cual existirá un número de términos igual al exponente de
la expresión dada (los siguientes pasos son solo para el segundo factor).
- En cada término se multiplicara el término de
la izquierda por el término de la derecha de la expresión dada
- En el primer término del factor polinomio el
factor de la izquierda tendrá un exponente igual a “n – 1”, y el factor
derecho tendrá un exponente de cero.
- Para los exponentes de los siguientes
términos, en el caso del factor de la izquierda irán disminuyendo en una
unidad, y los del término de la derecha irán aumentando también en una
unidad (si se suman los exponentes de los dos términos siempre será igual
a n-1).
- Si el binomio es negativo todos los términos
del polinomio son positivos, si el binomio es positivo impar los signos
del polinomio se alternarán (+ ó –) comenzando por el “+”.
- Cuando en el polinomio, el exponente del término
de la derecha sea igual a n-1 damos por terminada la respuesta.
Ejemplos
Si la
diferencia es:
Clasificación
-
expresión
negativa par
Raíces raíz
8
=
=
n
Binomio
Polinomio
Signos
Respuesta
Si la diferencia es:
Clasificación
+
expresión
positiva impar
Raíces raíz
9
=
=
n
Binomio
Signos
Respuesta
